مقدمه ای بر آمار بیز

«مقدمه ای بر آمار بیز»

مقدمه

پارامتر  را می توان اغلب به چشم یافته یک متغیر تصادفی  نسبت به تعداد لامپ های ناسالمی باشد که یک کارخانه تولید می کند. طبیعی است که دراثر فرسوده شدن ماشینهای کارخانه  به تدریج زیاد می شود و نمی توان همیشه آن را یک مقدار ثابت (برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!) تلقی کرد یا اینکه گاهی اوقات دیدگاه آمار دانان نسبت به پارامتر  بر اساس اعتقادات و باورهای شخصی است که از فردی به فرد دیگر این پارامتر تغییر می کند. آماری را که با این دید پایه گذاری می شود آماربیز می نامند، زیرا از فرمول بیز برای تغییر نتایج استفاده می شود.

آمار بیز که در چند دهه اخیر مورد بحث و بررسی بوده است، امروز جای خود را در میان آماردانان بازکرده است و از رشته های مهم آمار می باشد. اساس این نوع آمار تعبیر احتمال به طریق شخصی می باشد نه به طریق فراوانی نسبی، و در این زمینه بحث های فلسفی فراوان شده است به خصوص این مبحث با نظر یه تصمیم آمار مربوط می باشد که خود موضوع درسی جداگانه است.

آمار بیز و آمار کلاسیک:

آمار معمولی را در برابر آمار بیز، آمار کل(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!) نامند.  در آمار کلاسیک به طریق فراوانی نسبی تعبیر می شود. اما در آمار بیز احتمال به طریق شخصی تعبیر می گردد. آماردان کلاسیک اغلب با آمار دان بیز در مجادله می باشد. آمار دان کلاسیک می گوید:

الف) چون استنباط آماری برای کشف واقعیتها می باشد نمی توان احتمال را به طریق شخصی تعبیر کرد و این تعبیر جنبه عینی نداردو موجب اعمال نظر و تحمیل عقیده می گردد.

ب) پارامتر مجهول را به سختی می توان به چشم یک متغیر تصادفی نگاه کرد و در ضمن تعیین چگالی پیشین برای چنین متغیری به سلیقه و عقیده آماردان بستگی پیدا می کند.

آمار دان نیز از خود دفاع می کند و می گوید:

الف ) در بعضی موارد نمی توان احتمال را به طریق فراوانی نسبی تعبیر کرد مثلاً احتمال وجود سنگ آهن در کره ماه، یا احتمال وقوع جنگ جهانی سوم اینگونه احتمالها صرفاً جنبه شخصی دارند و میزان اطلاعات و تجربه و عقیده شخصی را در باره این امور بیان می داند.

ب ) بیان اطلاعات و عقیده شخصی به صورت چگالی پیشین و تصحیح این چگالی، با ا(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!)ا، به صورت چگالی پسین، کاری معقول می باشد.  از این راه می توان اطلاعات شخصی و اطلاعات نهفته در داده ها را با هم ترکیب کرد و به واقعیت نزدیک گردید.

مشکلات روش کلاسیک

رگرسیون خطی و تعمیم های آن به طور گسترده مورد استفاده علوم مختلف هستند. با پیشرفت سریع رایانه ها و قدرتمندتر شدن آنها، محققان با مجموعه داده های بزرگتری هم از لحاظ حجم و هم از لحاظ تعداد متغیرهای پیش بین موجود در مدل مواجه هستند.

مسئله دیگر این است که از لحاظ نظری تعبیر مقدار احتمال هنگامی که یک مدل از میان مجموعه بزرگی از مدلها انتخاب می شود، مشابه وقتی که تنها دو مدل وجود دارد نیست و استفاده از آنها برای انتخاب مدل می تواند نتایج گمراه کننده ای به همراه داشته باشد.

اینگونه نارساییهای مقدار احتمال در نمونه های بزرگ(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!)ان می شوند. موارد زیادی وجود دارد که فرض صفر از لحاظ نظری معقول به نظر می رسد، اما مقدار احتمال تمایل به رد فرض صفر دارند. از سال 1986 به بعد آمار بیزی، معیار اطلاع بیز (BIC) را به عنوان جایگزینی برای مقدار احتمال مطرح ساخته است که در مواردی که مقدار احتمال عملکرد ضعیفی دارد، خوب عمل می کند.

آشنایی با نظریه تصمیم

در این بخش تلاش می کنیم مطالبی از نظریه تصمیم بیان کنیم ابتدا اجزای اصلی تشکیل دهنده یک مسئله تصمیم را معرفی می کنیم و سپس قاعده های تصمیم را تعریف می کنیم.

اجزای اصلی یک مسئله تصمیم

نظریه تصمیم همانطوری که از نام آن مشخص است مباحثی در مورد تصمیم گیری است در واقع نظریه تصمیم یک جهارچوب مشخصی از مسائل استنباطی است که در آن تمام اجزای فرآیند تصمیم گیری رسما تعریف شده اند.

تمام شکلهای استنباط آماری مانند برآورد نقطه ای، برآورد فا(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!) آزمون فرض یک نوع تصمیم گیری هستند و اغلب برای تصمیم گیری بکار می روند. در نظریه تصمیم، هدف استفاده از نمونه های آماری و درنظر گرفتن جنبه های دیگری از قبیل سود، زیان و… است تا به «بهترین» تصمیم دست پیدا کنیم. در فرمول بندی نظریه تصمیم تمام مولفه ها باید تعریف شده باشند.

توزیع پیشین

در استنباط آماری به روش بیزی، پارامتر  به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می شود که مقادیر ممکن آن فضای پارامتر  است. در روش بیزی اطلاعاتی در مورد پارامتر  موجود می باشد که این اطلاعات در قالب یک تابع توزیع با  نشان داده می شود.

در واقع توزیع پیشین تبلور کاربر آمار از خلاصه اطلاعات و دانسته های او در این باره که احتمال قرار داشتن  در چه بخشهایی از  (فضای پارامتر) بیش از همه است. به بیان دیگر، قبل از مشاهده و جمع آوری هر گونه داده ای، اطلاعات و داده های قبلی کار(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!)عد می کند بر این باور باشد که شانس قرار گرفتن مقادیر  در فضای پارامتر  چگونه است. فرض می شود که چنین باورهایی را می توان در قالب یک تابع توزیع بیان کرد.

به تابع توزیع که اطلاعات موجود درباره  را در خود محفوظ دارد و تابع پیشین می گویند و با  (تابع توزیع) و  (تابع چگالی) نشان داده می شود.

توزیع های مزدوج

اغلب خانواده هایی که از توزیع ها برای  که در ارتباط با توزیع X که بستگی به پارامتر  دارد وجود دارند که اگر توزیع پیشین متعلق به این خانواده باشد. آنگاه توزیع پسین نیز متعلق به این خانواده خواهد بود اص(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!)اده هایی را خانواده توزیع های مزدوج می نامند.

توزیع های آگاهی بخش[1]

توزیع پیشین  را در نظر بگیرید، اگر  اطلاعات صریح و قطعی درباره یک پارامتر در اختیار آماردان قرار دهد به آن توزیع، توزیع آگاهی بخش می گویند.

توزیع های ناآگاهی بخش[2]

اگر توزیع پیشین  یک سری اطلاعات کلی و مبهم پارامتر جامعه در اختیار آماردان قرار دهد، توزیع پیشین ناآگاهی بخش می گویند.

اصطلاح ناآگاهی بخش شاید یک اصطلاح اشتباه برای این توزیع ها باشد بلکه بهتر است که «نه چندان آگاهی بخش» نامیده شود چون این چنین نیست که هیچ اطلاعی از پارامتر را در اختیار ما نگذارد.

تاثیر پیشین های متفاوت بر برآوردهای نهایی یک پارامتر

چگونه پارامتر  (استفاده از توزیع های پیشین متفاوت) به نت(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!) گذارند؟ برای بررسی این موضوع ما به زیر مجموعه ای از خانواده توزیع های بتا با  متمرکز می شویم یعنی اینکه توزیع پیشین ،  باشد و توزیع یکنواخت عضوی از این مجموعه می باشد با c=1

توزیع پیشین ناآگاهی بخش برای خانواده برنولی

در آمار بیزی انتخاب توزیع پیشین از اهمیت ویژه ای برخوردار است. قوانین مختلفی برای انتخاب پیشین ها مطرح شده است که گاهی اوقات فهم و درک شهودی پیشین های به دست آمده بسیار سخت می باشد. درا ین قسمت به یک روش ابتکار پرداخته می شود که بیانگر این است که پیشین های یکنواخت لزوما ناآگاهی بخش نیستند و همچنین پیشین های ناآگاهی بخش لزوما یکنواخت نیستند.

در تحلیل بیزی انتخاب پیشین ها با استفاده از قانون جفریس به نتایجی که درک آن برای دانشجو سخت می باشد منجر می شود.

ادعای فوق را با مثالهای زیر بیشتر روشن می کنیم:

فرض کنید  یک نمونه تصادفی از توزیع برنولی با پارامتر  باشد در استنباط آماری برای برآورد تحلیل گر آماری برای  به یک توزیع پیشین مناسب نیاز دارد و با استفاده از توزیع پسین نتایج مختلف را استنباط کند.

وقتی درباره توزیع نظریه پیشین محکم و قو(برای مشاهده متن کامل مقاله، آنرا بخرید!)اشته باشد بهتر است که یک پیشین ناآگاهی بخش را انتخاب کنیم در این مواقع با استفاده از روشها و قاعده هایی به ساختن یک توزیع پیشین برای  می پردازیم، که اکثر این توزیع های پیشین به دست آمده ناآگاهی بخش می باشند یکی از این روشها روش جفریس می باشد. تابع چگالی احتمال به دست آمده این روش به شکل زیر می باشد:

مثالها

مثال 1:

فرض کنید  یک نمونه تصادفی n تایی از توزیع  باشد با فرض تابع زیان مربع خطا و توزیع پیشین  برآوردگرهای بیز پارامتر  را به دست آورید.

فهرست مطالب

مقدمه 1

فصل اول 9
آشنایی با نظریه تصمیم 10
اجزای اصلی یک مسئله تصمیم 10
توزیع پسین 11
توزیع پیشین 12
توزیع های مزدوج 13
توزیع های آگاهی بخش 13
توزیع های ناآگاهی بخش 13

فصل دوم 14
برآوردگرهای بیز 15
توزیع مزدوج (بتا) 17
روشی برای انتخاب توزیع پیشین مزدوج 18
تاثیر پیشین های متفاوت بر برآوردهای نهایی یک پارامتر 19
توزیع پیشین ناآگاهی بخش برای خانواده برنولی 20
ارائه یک روش ساده (البته مبتدی) برای قضاوت ناآگاهی بخش بودن یا نبودن یک توزیع پیشین 21

فصل سوم 23
مثالها 24

فصل چهارم 34

مقاله فوق دارای صفحه مشخصات، فرمول، فهرست مطالب (فصل بندی شده) و 37 صفحه متن (در قالب و ) با رعایت کامل صفحه بندی می باشد. همچنین فونت های کار شده برای متن مقاله  B Zar(15) و برای تیترهای داخل مقاله B Zar می باشند.

قیمت این مقاله 11200 تومان می باشد، جهت دریافت کامل متن مقاله (قابل ویرایش) بالای صفحه روی پرداخت و دریافت کلیک کنید

مشاهده فهرست مقالات الکترونیک

نوشته شده در 6 آبان ۱۴۰۲ توسط بهنام پروندی

لطفا پس از بهره مندی از مطالب فوق با نظر گرمت به من انرژی مثبت تزریق کن 🙂